Existem perguntas para as quais realmente não há respostas. Todas as respostas candidatas são ruins. E não é por incompetência daquele que responde: a pergunta realmente não admite uma resposta satisfatória. Isso é bem conhecido desde os tempos antigos e preocupavam particularmente os filósofos gregos.
Um exemplo desta classe de perguntas são aquelas nas quais se emprega a auto-referência (sentenças que afirmam algo sobre si mesmas). Analise o que responderia se alguém lhe perguntasse "Esta sentença é falsa. Verdadeiro ou falso?"
Vejamos: Se "Verdadeiro", você concorda com a afirmação, isto é, responde que a sentença é falsa. Como a sentença justamente afirma que ela é falsa, e você diz que ela é falsa, então a sentença só pode ser verdadeira. Mas a sentença não pode ser verdadeira, pois ela afirma que ela é falsa! Logo, esta resposta não é aceitável.
Se "Falso", você discorda da afirmação, isto é, responde que a sentença é verdadeira. Novamente, se ela é verdadeira o que ela diz é verdade, ou seja, aquela sentença é falsa. Também não serve.
É estranho, mas existem perguntas dentro da própria Matemática que simplesmente não admitem resposta. Os matemáticos sabem disto, mas escondem o jogo. Da próxima vez que um matemático contar vantagem, pergunte a ele: "Tudo bem engraçadinho, se a Matemática é assim tão completa e perfeita, o que me diz dos problemas indecidíveis, dos paradoxos de Zenão, e do teorema da incompletude de Gödel?". Tome só o cuidado para ele não estar comendo nada nesta hora, pois há risco dele se engasgar. Você acabou de pegar pesado -- era melhor ter falado da mãe dele.
Tocando neste assunto...
Eu já comentei este exemplo uma vez e ouvi de volta que o exemplo parecia muito artificial, longe das perguntas do cotidiano. Na opinião de meu interlocutor, para as perguntas do cotidiano sempre há respostas certas e respostas erradas. Realmente, não consegui achar um exemplo de problema "menos matemático" deste tipo. Até ontem, quando fui na farmácia com minha filha.
O caixa estava demorando a atender o cara logo na minha frente. Em cinco minutos, havia uma fila enorme atrás de mim. Todo mundo impaciente. Imaginem minha filha de três anos.
Eu já tinha corrido atrás dela a loja toda, respondido a ela o que cada medicamento que ela apontava fazia, contado a estória do soldado de chumbo. Todos os recursos estavam esgotados. Ela começou a procurar coisa para fazer, quando se deparou com um cartaz grande da Gisele Bündchen, fazendo propaganda de algum cosmético. Ela olhou a moça algum tempo, virou para mim e perguntou:
-- Papai, olha só esta moça... parece a mamãe, não é?
Silêncio na fila. Aqueles que ainda conversavam baixinho interromperam o papo segundos depois, como se só naquele momento houvessem lhe caído a ficha de que a resposta a esta pergunta era mais interessante que o assunto que estava em andamento. Ao articular a resposta, percebi que a minha filha encontrou o exemplo que eu procurava. Neste momento, por um milagre, o caixa liberou e chegou a minha vez de ser atendido.
